Montrer que l'image de $$f(x,y)=\exp\left(\frac{x+y}{x^2-y}\right)$$ est \(]0,+\infty[\)

Soit \(z\in]0,+\infty[\)

On pose \((x,y)\) tels que \(\forall z\in]0,+\infty[,f(x,y)=z\)

Soit \((x,y)=(\frac1{\ln z},0)\) (pour \(z\neq1\)). Alors $$f(x,y)=\exp\left(\frac{\frac1{\ln z}+0}{\left(\frac{1}{\ln z}\right)^2-0}\right)=\exp(\ln z)=z$$
Pour \(z=1\), on pose \((x,y)=(1,-1)\). Alors $$f(x,y)=\exp\left(\frac{-1+1}{1^2+1}\right)=e^0=1=z$$
L'image de \(f\) est donc bien \(]0,+\infty[\)